论文标题：Strain Characterization in Two-Dimensional Crystals（二维晶体的应变表征）

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作者：Shizhe Feng and Zhiping Xu*

发表时间：9 August 2021

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作者简介

徐志平 教授

清华大学

2002、2007年分别获得清华大学学士、博士学位，此后在美国Rice大学和MIT从事博士后研究工作。2010年起供职于清华大学航天航空学院，现任工程力学系教授，当前研究兴趣是：(1) 微纳米尺度物质与能量输运过程，(2) 材料生长、缺陷演化动力学与服役行为。自2021年起担任期刊编委。

冯诗喆 博士

清华大学

2013、2017年分别分别获得上海大学、美国西北大学土木工程学士与硕士学位，2021年获得清华大学固体力学博士学位。主要研究领域是低维材料界面力学与断裂力学。

文章导读

二维晶体具有原子级厚度，其每一个组成原子都暴露于环境，从而便于进行调控与实验表征，是研究材料物性的理想材料。材料的变形、失效等力学问题是典型的多尺度问题，可由宏观载荷触发，而其行为却由缺陷、位错以及裂纹等微观缺陷、损伤的萌生和发展决定。这些微结构附近的应变场具有高度集中且空间梯度较大的特点，其直接表征可以解析力学过程中蕴含的丰富物理信息。

高分辨率透射电子显微镜等实验方法或原子模拟技术可以提供二维晶体中的原子位置信息，进而可获得应变场信息。基于原子位置的应变分析方法的挑战在于应变的定义基于连续场理论，而原子位置提供晶体的离散表征。因此，探讨基于不同原理的应变分析方法对二维晶体中特征应变场的描述精度及其与材料变形、失效连续介质唯象理论之间的关联非常必要。

针对这一问题，清华大学徐志平课题组比较了几何相位分析 (geometrical phase analysis，GPA)、键合形变、原子应力三种方法 (图1) 以及线弹性理论模型在二维晶体中存在有限尺寸、应变梯度、缺陷等特征时的应变表征能力。

图1. 应变表征方法。(a) 几何相位分析法；(b) 键合形变分析法；(c) 原子应力分析法。

研究内容

二维存在应变时实空间与倒易空间的晶格矢量发生改变。几何相位分析法通过晶体结构衍射强度与倒易空间晶格矢量的关系I(r)=∑_gA_g exp(2^πig^•r+iP_g) 将位移场u与相位变化P_g (r)关联，即P_g (r)=2^πg^•u。键合形变法根据变形前后目标原子对 (i,j) 相对位置的改变 (见公式1)，计算原子i的变换矩阵 (见公式2)，而该原子处的Lagrange应变为 (见公式3)。原子应力法通过原子模拟势函数计算原子间相互作用力及Virial应力，进一步依据应力应变关系推导获得原子应变。本研究构建了有限尺寸、含梯度应变、含孔洞缺陷、裂纹以及位错、晶界的石墨烯原子结构，通过经典分子动力学方法获得平衡态原子结构并转换为图像，使用三种应变分析方法以及连续介质力学理论进行应变计算 (图2)，进行比较分析。

图2. 石墨烯中裂纹尖端的应变场。(a) 几何模型；(b) 横向应变在裂纹尖端沿方向的分布曲线；(c^_-f) 几何相位法、键合形变法、线弹性断裂理论及原子应力法计算得到的横向应变场。

总结

研究结果表明，几何相位法对原子图像进行Fourier分析直接得到连续应变场信息。对于面内应变变化较小的区域，该方法能较好地捕捉应变大小及分布规律，精度可通过调整掩模 (Masking) 区域位置及大小进行优化；对于晶界两侧晶格矢量相差较大的大角度晶界结构，可通过指定掩模中心点的位置为该两组倒易空间晶格矢量中心点进行计算，得到相对应变。几何相位方法的误差一部分来源于掩模过程，较小的掩模尺寸对应变变化较平缓的区域更加精准，而对于应变集中的捕捉能力较弱；另一方面，倒易空间晶格矢量反映的是周期性结构信息，该方法在处理几何非连续边界时，需要在图像中手动定义材料边界。

键合形变方法是较为准确的方法，但其使用需要明确的原子位置信息，要求原子配位完整，而且原子键合的定义通常依赖于原子间作用截断距离的选取，缺乏客观标准。原子应力分析法需要通过原子模拟方法获得平衡态结构，依赖于原子相互作用势函数。其误差主要来自于多体系统Virial应力的定义以及计算；另一方面，为了计算便捷而常使用的线弹性应力应变关系在处理大应变时误差较大，需采用考虑非线性、各向异性等因素的复杂本构关系提高精度。

二维晶体由其低维特征，可以进行较好的缺陷控制，实现大范围的应变调控，这不仅对于理解物性，也对研发应变工程、缺陷工程、相变工程等相关应用提供了极为合适的材料平台。二维晶体应变表征方法以及本文中的讨论对于其中的力学设计也具有实用意义。

本研究受到了国家自然app基金委员会的资助 (11825203，11832010，11921002，52090032)，相关计算工作在清华大学高性能计算中心完成。