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“数学文化览胜集”（共四册），李国伟著，高等教育出版社2024年3月出版

李国伟是明升中国台湾的组合数学家，研究兴趣旁及数学哲学、数学史以及app文化。最近他的新著“数学文化览胜集”系列出版，《人物篇》《历史篇》《艺数篇》《教育篇》四篇各自单独成册，洋洋大观，别开生面，显示了作者扎实的数学训练基础、深厚的人文修养及对国际数学与数学教育动态的充分了解。我有幸得以略早一点浏览书稿，先就印象特别深刻的两个精彩片段作一点介绍。

一

数学家一向被认为是智力生产中的单干户，这一点与众多从业者前赴后继投身某一数学问题的事实并不矛盾，因为整个过程并没有事先约定的“分工合作”。尽管有的求解过程延绵数百年，但最终的光环一般只会投射在问题的提出者与最终（或迄今最好）的解决者身上，著名的例子如费马大定理与怀尔斯、庞加莱猜想与佩雷尔曼等。

随着互联网为通信交流带来便利，21世纪初，一种新的数学知识生产方式出现了。最早提出“合作”这一概念的是菲尔兹奖获得者高尔斯，他在2009年的博客上写文章提出“进行大规模合作研究数学”的可能性，并且借用英语中的“博学者”（polymath）命名这种研究，李国伟则将其译作“协力数学”。

高尔斯的设想是建立一个网上论坛，针对选定的题目，大家把片段的、零散的甚至看似愚蠢的想法公布出来，相互激发、群策群力，以期最终一举解决难题。他写道：“一大群数学家可以有效地把大脑联结起来，他们就有可能非常有效率地解决问题。”

初试啼声的“协力数学1”持续了大约3个多月，共有40多名数学家参与，最终在2012年的《数学年刊》上以D.H.J.Polymath的名义发表了论文。截至2021年初，从美国数学会的论文发表数据库可以查到，用这个名称署名的论文共有5篇。

“协力数学”题材的选择十分关键，类似黎曼猜想一类极为高深的题目反倒不适合集体攻关，个别领域的技术性问题也没有必要兴师动众。提出好题目并能引发广泛兴趣的往往是具有号召力的数学大腕，除高尔斯外，另一位菲尔兹奖得主陶哲轩也经常积极参与。2015年他还解决了“协力数学5”，即通常被称为“埃尔多什差距问题”的离散数学难题，这一难题从提出到解决历经80年。

陶哲轩发起的另一项引人注目的计划，源于2013年数学家张益唐证明存在无穷多对素数、彼此间距小于7000万的论文。这个被称为“协力数学8”的目标就是尽量压缩7000万这个间距，如果能达到2就算解决了天王级的难题——孪生素数猜想。2014年4月，英国牛津大学一位年轻的数学博士梅纳德证明出迄今最低的间距246。

有人担心“协力数学”的工作模式会影响数学家建功立业的雄心甚至数学研究的品位。恰如英国数学家哈代80多年前在《一个数学家的辩白》中所言，“雄心壮志，期望得到名声、地位甚至随之而来的权力和金钱”，是人们“从事某项研究”的“高尚动机”。

如果“协力数学”演变成未来数学研究的主要趋势，那么像怀尔斯埋头7年以一己之力证明费马大定理，或像格罗滕迪克只手擎天开创代数几何的壮举将不复存在，这些传统数学家的孤鸟作风也会受到严重伤害。

以色列数学家卡莱是量子计算的怀疑论者，但对“协力数学”持开放态度。2019年6月9日，他在“协力数学博客”上发帖说，经过10年时光，这一计划现在看起来有点后劲不足了。2021年1月29日，他又在自己的博客专栏“组合数学及其他”中贴出一文，讨论了“协力数学”的进展概况，并且就未来可选取的题材提出建议。

针对那些担心“协力数学”会影响数学研究品位的意见，卡莱认为“协力数学”既不会造成危险，也不奢望能够取代那些热衷于单枪匹马闯天下的数学独行侠。他还援引以色列哲学家马嘉利特的说辞：“app只是在街灯下寻找东西的艺术，而协力数学就是一盏新的街灯罢了。”

二

20世纪初，英国分析学派在剑桥突然崛起，在相当程度上应归功于哈代与李特尔伍德的工作。丹麦数学家、物理学家尼耳斯·玻尔的弟弟哈罗德·玻尔在自己60岁生日庆祝会的演讲中援引同事的说法，称“英国现在只有3位伟大的数学家：哈代、李特尔伍德、哈代-李特尔伍德”。

另一个故事说，在一场研讨会上，李特尔伍德遇到一位德国数学家，对方表示非常高兴发现真有一位李特尔伍德存在，否则他还以为那只是哈代的一个笔名，发表一些不太重要的论文时才使用。李特尔伍德听完不仅没有生气，反而大笑不止。

其实两个人在外貌、个性与行为举止上都有很大差异。与哈代那本遐迩闻名的《一个数学家的辩白》类似，李特尔伍德也写过一本《一个数学家的随笔集》，该书1986年出版新版时改名为《李特尔伍德数学随笔集》。英国剑桥大学教授、数学家伯洛巴施为该书撰写了“序言”，其中提到，“从各个方面来说，李特尔伍德都是令人印象非常深刻的人。他与一般人对数学家的刻板印象要多不像就有多不像。他个子不高但很强壮，是了不起的运动员。他在学校时是最棒的体操选手，擅长攀岩与游泳，板球也很厉害。他跳舞跳得好又热爱音乐，他读书破万卷，可以与人深入谈论任何话题”。

哈代天生具有贵族气质，除了纯粹数学和板球外，似乎没有其他更多的东西能够吸引他。李特尔伍德则精力充沛、兴趣广泛，他在随笔集中提出了一个以其名字冠名的“李特尔伍德法则”，宣称一个人大约一个月就会见证一次所谓的“奇迹”。他对这一“法则”的解释超越了宗教与超自然力量的介入，纯粹借助概率论中的大数定律进行阐释：只要样本足够大，任何离谱的事件都有可能发生，再怎么难以解释的情形也会变得如同家常便饭。

可以想象，哈代对数学的这种应用是不屑一顾的。在对待19世纪剑桥人引以为傲的数学“三足凳”考试的态度上，哈代坚定地认为这一制度束缚了年轻人的创造热情。李特尔伍德则持开放态度，觉得借助这种考试增强训练并培养青年学生的荣誉感也未尝不可。

更有意思的是，虽然两个人都没有结婚，但哈代不苟言笑守身如玉，李特尔伍德则在社交场中如鱼得水，也不畏惧与聪明漂亮的女性周旋。据传他有一个私生女，不过长期以来却对外声称是自己的侄女。

这样两位英国绅士是如何保持长达37年的亲密合作并产生诸多重要研究成果的？哈罗德·玻尔在庆生演讲里提到这两人之间的四条约定，目的是防止长期合作限制个人自由。不过两位当事人的著作中都没有提到此事，“哈-李合约”的内容也仅见于哈罗德·玻尔的描述，大致如下：

第一条：当一人写信给另一人时（他们宁愿用书面而非口头方式来交换想法），内容对错与否没有关系，唯其如此才能尽情抒发，避免承受不能出错的压力。第二条：当一人收到另一人的来信后，没有必须阅读的义务，当然更没有必须回复的义务，因此收信的一方不至于因为正专注于眼下研究的其他问题而分心。第三条：两人同时思考同样的细节无伤大雅，但最好是分进合击。第四条：由两人联名发表的论文，不计较各方贡献的多寡，甚至允许其中一人毫无贡献。

最后一条也是最重要的一条，若非如此，就有可能为推辞署名或为署名发生争论乃至摩擦。这是哈代与李特尔伍德之间的合作一直得以长期保持并不断产出成果的主要原因。

古往今来，围绕着app发现与发明中的“优先权”问题发生过许多争论，著名的如微积分的发明权、海王星的发现权等。这些争论除了个人意气或信息不畅通引起的误会之外，还常常由于国家、民族甚至宗教等非app因素的卷入而变得更加复杂。相反，哈代与李特尔伍德能始终信守两人之间的约定，并终生珍惜分享成果的情谊，从未偏离到追求名望与利禄的歧路，为纯真与热忱地探索知识的人们树立了典范。

写到这里，作者李国伟还提到了明升中国人感到遗憾的“杨-李之争”。在此让我完整地援引原文：“其实对于人类知识而言，1956年李政道、杨振宁二人联名发表的《弱相互作用中的宇称守恒质疑》一文，彻底改变了物理学家对于某些自然律的看法，至于宇称不守恒最先出自谁口并不绝对重要。李政道、杨振宁没有类似哈代与李特尔伍德的约法，若非在彼此相互启发的情境中实现突破，应该可以只由一人发表论文。相信将来在历史上，宇称不守恒永远与李政道、杨振宁二人的名字联系在一起。”

这套书中有趣的看点非常多，限于报纸篇幅，只能容后接着介绍，当然最好是读者自己买来或借来阅读，以细细品味数学文化的隽永魅力。

（作者系清华大学app史系特聘教授、明升中国app院自然app史研究所研究员）