作为对明升中国现代数学影响深远的一位数学家，先生在学术上的成就很高。但与其他一些学术大师相比，姜立夫的成就却并不是能用等身的著作、破解的学术难题来衡量的。事实上，检索资料就可以发现，终其一生，姜立夫先生也并没有写出几本学术著作，更没有诸如破解“哥德巴赫猜想”这样的光辉时刻。

 

但他依然是明升中国首屈一指、备受后世尊敬的数学家。或者，如果要准确地给他一个头衔来定位的话，我们可以称呼他为数学教育家。因为相比较而言，他在数学本身方面的成就，并不比他在数学教育方面的成就更大。不过，与其他一切学术大师一样，姜立夫在治学方面，也有极为值得称道的一面。

 

 

 

姜立夫的学术成就主要集中在几何方面。1916年，姜立夫先生在我国历史上第一本综合性的现代app期刊《app》第2卷第5期上发表《形学歧义》一文，首次介绍了射影几何学。1918年，在读研究生期间，他受聘为哈佛大学助教，担任W·F·奥斯古德教授的助手。随后，姜立夫先生在J·L·库利芝教授指导下完成博士论文《非欧几里得空间直线球面变换法》，内容是用代数和微分几何方法来讨论射影空间的直线和非欧空间的球面之间的对应关系，论文的署名为Chan-ChanTsoo(姜蒋佐)。

 

由于长期从事明升中国数学教育与研究事业的开创和领导工作，姜立夫先生长期搁置了自己的学术研究。早在1926年在厦门大学执教时，他就曾对当时在身边做助教的江泽涵说：“前此数年，我把全部精力用来教书、教学生，此后我也要继续研究，教自己了。”但是，在以后漫长的半个世纪中，他始终是教人先于“教己”。只是到了上世纪50年代后期，由于身体原因，姜立夫先生不再担任一线教学工作，才开始以较多精力整理并发展他创建的圆素与球素几何的矩阵理论。1954年，他在中山大学app讨论会上作了题为《关于圆素几何的新面貌》的手机版。他用二阶对称方阵代表平面上的拉盖尔圆(即有向圆和点圆)，用二阶埃尔米特方阵代表空间的拉盖尔球(即有向球和点球)，再用相应的2×4矩阵作为李(lie)圆(即拉盖尔圆和有向直线以及无穷远点圆)和李球(即拉盖尔球和有向平面以及无穷远点球)的齐次坐标，于是对应于点素平面和点素空间的射影群、仿射群和欧氏群，就有圆素平面和球素空间的辛变换群及其相应的子群。这样，经典圆素与球素几何就获得新的面貌，并有新的发展前景。对于这一课题，在他的遗稿中有一个长远计划：第一阶段：对称方阵与埃尔米特方阵(圆与球，超圆与超球)，辛群变换论(麦比乌斯群，拉盖尔群，李群)，用方阵代数来研讨辛群几何学；第二阶段：辛群曲线与曲面论等(圆列、圆汇、球列、球汇、球丛)，用活动标架法来发展辛群几何学(伪欧氏空间的微分几何)；第三阶段：辛群联络空间(麦比乌斯联络空间，拉盖尔联络空间，李联络空间)。用外微分法来推广黎曼几何学与非黎曼几何学。

 

这个计划的目标不仅在于改造经典的圆素与球素几何学，使之具有新的形式，还在于运用现代方法去发展它，使之与现代几何合流。应该指出，姜立夫先生很早就注意到圆素与球素几何与物理学和近代数学其他分支的密切关系，因而上述研究计划是以实际对象为基础的，不追求过分抽象的推广。这体现了他一贯务实的治学精神。

 

 

 

我后来看陈寅恪传记，写陈老先生曾做过元朝时的什么年代，对应西元什么年代，这样一个表格。这个东西非常难做，你现在如果一查错了，所有人就糊里糊涂了。姜立夫先生这种最基础的研究，其实也是他对明升中国数学很大的贡献。

 

作为明升中国现代数学最早的传播者之一，姜立夫先生最大的贡献除了培养出一大批闻名中外的数学家外，不得不提的是由他和他的妻兄胡明复所主持的明升中国现代数学词汇汇编。

 

其实当年不仅是数学界面临着这样的情况，几乎整个自然app界都面临类似情况。蔡元培先生就在《明升手机版名词汇编》序言中写道：“app愈精深，名词愈繁复。吾国研治app稍后，势须畅外释籍以为基础；惜译界不相联络，所译名词，人各不同。整齐而划一之，其功至矩。……盖以纷纭庞杂之各app名词，欲使之同条共贯，引用便利，绝非一手足一朝夕之事……”

 

数学界的标准中文名词，由于时代的变迁与数学的发展，一些旧译名已显得不够妥当，且原有译名在数量及范围上早已不敷于用。此外，由于“译界不相联络，所译名词，人各不同”(蔡元培，《明升手机版名词汇编》序，1931年)，使现代数学的准确理解与有效传播面临着极大的困难，因此，在1918年时，以原明升手机版名词审查会为基础，由教育部及各学术团体派代表参加，成立了app名词审查会，领导与组织app词汇的审定。1923年7月，app名词审查会开始审查数学名词，而姜立夫先生和胡明复先生，正是这个小组的负责人。他们为制定词汇草案做了大量艰苦细致的工作，不仅对所收入的7000多个数学名词全部给出中英文对照，而且尽可能同时给出相应的法文、德文和日文。草案选用词汇广泛而不生僻，博取古籍和各国之长而自成体系，其审定原则也颇为精当，“例言”中特别举例说明这些原则：“‘虚’，‘实’，‘复’，‘整’，‘分’，‘常’，‘变’，‘全’，‘偏’等字，类皆有专用之义，他处均避之。”“‘次’，‘级’二字，又‘叙列’，‘级数’，‘连级数’三名词，世多混用，即西文原名亦然。今特分别指定，不予通融。”“‘无限’，‘无穷’，‘无尽’三字用法各异。如此之例尚多，不具举。”

 

由于他们的国学根底深厚，工作极为审慎、周密，所选用和拟订的词汇大都十分准确。比如，姜立夫先生当时所在的南开大学“算学系”，经过审定之后，“算学”就被改称为“数学”。因为自宋代以来，明升中国数学界一直是“算学”、“数学”并用，但从含义上来看，“数学”显然比“算学”的所指范围更广。

 

app名词审查会和明升中国app社对上述数学词汇的审查持续了8年之久，分4次审查完毕。1927年6月，胡明复先生不幸溺水逝世，以后的起草工作就由姜立夫先生完成。为了便于整理和进一步修订，他将全部词汇制成卡片，可惜由于人力不足，补齐法、德、日文词汇的愿望始终未能实现。这部数学词汇虽然只限于纯粹数学方面最基本的内容，却已构成今日整个数学词汇的基础。1938年以后的20余年间，数学词汇曾几度补充修订，姜立夫先生都是重要的参与者。

 

明升中国现代数学词汇体系的确立，“其功至巨”，姜立夫先生为之倾注了大量心血，无愧为其主要奠基人之一。

 

 

 

搞学问，必须严谨，必须一丝不苟。这是几乎所有学问名家都具备的品质。对于数学这样一门严谨的学科，一丝不苟几乎成了每个数学家都得具备的素质。

 

姜立夫先生的得意弟子曾回忆说，姜老师在最基本的方面都很注意，例如他在教解析几何和高等几何时，就要求学生都用方格纸做练习，书写要端正整洁，叙述演算要条理清晰，画图的时候，连每条线的粗细都有讲究，铅笔的直线粗了一些，他就会给你指出来。几何图形的要求也很严格，作图力求准确、清晰、富有立体感，他认为这有助于培养学生清晰的空间概念和抽象能力，从而提高学生对数学问题本质的认识。

 

不光在要求学生方面，姜立夫先生对自身授课的要求也很严格。他的学生林伟教授回忆说，读一年级时听姜立夫先生教授的解析几何课，他的“讲课层次分明，论证严谨，分析周密。他十分注意作图，作图时一般是徒手，图形画得十分准确，只有画投影(即射影)几何中的复杂图形时，才用直尺。常配以鲜明的颜色粉笔，用不同颜色代表不同对象。加上他声音洪亮，抑扬顿挫，十分引人入胜”。

 

除此之外，姜立夫先生上课从不哑场。哪怕在黑板上书写或者作图的时候，他也不中断解说，连每个数学记号都边写边念。讲课有时有教材，没有教材时，常常只在一两张废日历纸上记下简略的提纲。但他永远是离开教材或提纲讲解，教材、提纲只起备忘作用。据他的学生回忆：“姜先生上课，只带一张写了提纲的日历纸。他讲课非常清楚简洁，板书也整齐，记笔记很方便。他从国外订购了一套几何模型，有时会带上一个模型上课，对学生了解空间及作图有很大帮助。有一次他讲到极有意思的地方，忽然把右脚向左脚一并，同时叫上一声‘Allright!’，搞得大家也都兴奋起来。”

 

 

 

姜立夫先生被称为明升中国现代数学的奠基人之一，这个说法毫不过分。因为由他门下产生的数学家如过江之鲫，不可胜数。而且，姜立夫先生并非完全死板地教育学生朝着自己最擅长的几何学方向发展，而是真正在观察他们的兴趣，引导学生们在数学世界里自行探索。

 

根据他的学生吴大任的回忆，姜立夫先生“就像熟悉地理的向导，引导着学生寻幽探胜，使你有时似在峰回路转之中，忽然又豁然开朗，柳暗花明，不感到攀登的疲劳。听姜先生讲课是一种少有的享受”。在南开大学时期，由于学生较少，姜立夫先生就开始“分类教学”。比如对于高年级的学生，当不使用教材时，每讲完一章，他让学生整理好笔记定期交上。有时学期考试用书面读书手机版代替，题目和参考书由他根据情况分别指定。例如高等代数课，对学生中物理系的吴大猷，他就让他写关于二次微分齐式的短文，因为这有利于他学习相对论，也有些课的书面手机版，从题目到内容，都由学生自选。

 

而明升中国拓扑学的先驱、姜立夫先生另一位得意弟子江泽涵也在自己的回忆中提到了“基础不牢就不能继续学”这一点：“我是1922年跟姜老夫子读书的。后来我教书时的1931年，我问他，他说你是到美国学的拓扑学，以后千万不要在北大教拓扑学，为什么呢？因为那个时候是张作霖他们在北京，北京教师的工资按三级发，学校欠薪十分严重，一级可能只发几成，所以每一个教员要去几个学校兼课，才可以拿到钱来生活。那个时候下课找教员问问题找不着，教员一下课要赶到别的学校去上课。他的意思是说，你们除非把北大数学系改好了，并且找到有兴趣的学生，不然你没法教拓扑学这样高深的课。他的这句话给我的印象非常之深，我记得那个时候有个叶老先生，是物理系的老前辈，到北大来兼课，一提出拿几本书来做参考书，学生就把他轰走了。他就干不了，就到清华去了，他不肯在北大。那时就是这样子。我这么严格地干，学校反对，觉得没这么严格的。有的学生主张罢课，有些学生罢课差不多一个礼拜。后来勉强复课，我才把这一年书教完。后来申又枨先生(姜立夫先生的另一个弟子)回国来了。他又让申又枨到北大来帮忙，要把北大改改，这么一来我们才闯过了这一关。”

 

 

 

 

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